Schlagwort-Archiv: Mathematik

Flachland – Strichland – Raumland

27 Dienstag Jun 2017

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Flatland ist eine 1884 von dem Briten Edwin Abbott Abbott (ich liebe diese Doppelnamen!) veröffentlichte gesellschaftskritische mathematische Satire. Damals herrschte im guten alten England Königin Victoria (1837 bis 1901). Während dieses sogenannten Viktorianischen Zeitalters florierte bedingt durch die industrielle Revolution Großbritanniens Wirtschaft prächtig. Ein nagelneues Eisenbahnnetz, Kolonieen ohne Ende und im Gegesatz zu Resteuropa keine gröberen politischen Unruhen, taten ihr Übriges zum britischen Erfolg. Es war ruhig auf der Insel – manche behaupten sogar fad und so konnten die englischen und schottischen Lords und Lordinnen dem Golfspiel frönen – aber dazu später mehr.

Während die Earls sinnbefreit golften, veröffentlichte Abbott Abbott also seine Flachland-Novelle. Und die hatte es in sich. In Flatland lebt ein gewisser A.Square – der Erzähler. Flatland ist eine komplett zweidimensionalen Welt, deren Bewohner die Gestalt einfacher geometrischer Formen haben und einem strengen Kastensystem unterliegen. Frauen sind gerade Linien. Soldaten und Arbeiter sind gleichschenklige Dreiecke. Sie gehören der Unterschicht an und genießen kein gesellschaftliches Ansehen, da nicht alle ihre Seiten gleich lang sind und sie deshalb als verunstaltet gelten. Wegen ihres spitzen Winkel sind sie jedoch gefährlich, da sie damit leicht andere Figuren tödlich verletzen können. Die Mittelschicht bilden gleichseitige Dreiecke wie beispielsweise Kaufleute. Darüber stehen die Gelehrten, die Quadrate, Fünfecke, Kreise usw.

Entscheidend ist dass alle Personen flach waren! Eines Tages besucht A.Square (selbst ein Quadrat) im Traum das benachbarte Linienland. In Linienland jedoch ist alles eindimensional und deren Bewohner nur unterschiedlich lange Strecken auf einer Geraden. Vergeblich versucht er den König von Linienland davon zu überzeugen, dass es noch eine weitere Dimension gibt. Man schüttelt über diesen komischen Typen den Kopf!

Ein weiterer Traum führt ihn dann in das nulldimensionale Punktland, wo er nichts als einen nulldimensionalen Punkt sieht, der nur sich selbst kennt und sich in Selbstgesprächen in den höchsten Tönen lobt. Zurück in seiner zweidimensionalen Welt erscheint dem Erzähler eine Kugel, ein Gast aus dem dreidimensionalen Raumland. Erst nach langer Mühe gelingt es der Kugel, das Quadrat von der Existenz der dritten Dimension zu überzeugen, und sie nimmt es zu einem Rundflug über seine zweidimensionale Heimat mit. Der nun zur vollen Erkenntnis der Dimensionalität gelangte Erzähler übertrifft daraufhin die Kugel, seinen Lehrer, darin, indem er sogar die Denkbarkeit vier- und höherdimensionaler Welten beschreibt, was die Kugel verärgert und die ihn deshalb zurück in seine zweidimensionalen Welt stößt. Als der Erzähler seine Erkenntnis der höheren Dimensionen schließlich unter den Bewohnern von Flatland verbreiten will, stößt er allerdings nur auf Irritation und wird schließlich als Aufrührer eingekerkert.

In unsere Sprache übersetzt heißt das: was der Bauer nicht kennt, frisst er nicht oder das ist bei uns so und das haben wir schon immer so gemacht.

Man muss manchmal den Horizont ein wenig öffnen, neue Dinge wagen, querdenken und akzeptieren, dass man selbst nicht der Weisheit letzter Schluss ist. Neben Flatland kann noch viel mehr existieren! Im Zeitland könnte man Veränderung erwarten, wenn man Dinge früh genug anstößt. Oder wie wärs zum Beispiel mit Hügelland: Golfplätze sind ja gerne mal hügelig und ohnehin gehört Golf schon wegen der Form des Balles wegen zum Kugelland.

Natürlich kann man sich auf Erfolge in der Vergangenheit ausruhen und wie die oben erwähnten Lords ausschließlich zum Golfen gehen und nix mehr haggln. Ist mir aber definitiv zu eindimensional!

SCHÖNES SPIEL 🙂

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Ich finde die Erde durchaus anziehend!

30 Dienstag Mai 2017

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Es gibt Menschen die bereits im frühen Kindesalter unglaubliche Leistungen vollbringen. Da gibt es ganz berühmte Namen wie Gottfried Wilhelm Leibnitz, Blaise Pascale, Albert Einstein oder auch Wolfgang Amadeus Mozart. Weniger bekannt sind aktuellere Namen wie Terence Tao (IQ 230) der bereits mit zwei Jahren mathematisch komplexe Aufgaben lösen konnte, mit 9 hatte der Australier dann Maths-Kurse auf Uni-Level absolviert und als er 13 war, gewann er die Goldmedaille der Internationalen Mathematik-Olympiade. Mit 20 Jahren promovierte er in Princeton, vier Jahre später wurde er Mathematik-Professor an der Universität Kalifornien (UCLA) und übernahm schließlich die Leitung des dortigen Fachbereichs Mathematik. Seither hat Tao über 200 wissenschaftliche Artikel über additive Kombinatorik, die Ramsey-Theorie, analytische Zahlentheorie, Zufallsmatrizen und partielle Differenzialgleichungen geschrieben. Wobei ich zugeben muss von keinem der 5 Themenbereiche jemals was gehört zu haben. Somit kann ich schwer beurteilen, ob er sich damit auskennt oder nicht.

Ebenso spannend der Werdegang des Südkoreaners Kim Ung Yong – nicht zu verwechseln mit dem Nordkoreaner Kim Jong Un! Der Süd-Kim sprach bereits im Alter von sechs Monaten fliesend seine Muttersprache. Mit drei Jahren konnte er dann bereits auch auf Japanisch, Deutsch und Englisch kommunizieren und komplexe Rechenaufgaben lösen. Mit acht Jahren lud ihn die NASA ein, an internen Lehrgängen teilzunehmen. Bisher hat Kim mehrere Bücher und Forschungsergebnisse veröffentlicht, darunter 90 Abhandlungen über Hydraulik – sein IQ liegt bei weit über 200.

Ich für meinen Teil gehöre eindeutig nicht zur Gruppe dieser hochintelligenten und/oder hochbegabten Menschen. Ich konnte als Kind keine Opern komponieren, konnte keine 6 Sprachen sprechen und habe mich wenig mit Kombinatorik und Quantenphysik beschäftigt. Dafür war ich ein hervorragender Indianer beim Cowboy und Indianer-Spiel, durchaus beliebt bei den Mädchen der Nachbarschaft und hatte eine große Auswahl an Tric-O-Tronic.

Trotzdem ich also nur der Stephen Waltl und nicht der gleichnamige Hawkins war bzw. bin, hat mich ein physikalisches Phänomen aber schon als Kind beschäftigt. Irgendwann checkt vermutlich jeder, dass Erde, Sonne und Mond irgendwas miteinander zu tun haben müssen. Auch dass im Winter die Tage kürzer und es im Sommer wärmer ist. Also habe ich mal bei meinem Opa nachgefragt, wie das denn funktioniert. Ich habe das dann (denke ich) relativ schnell verstanden und akzeptiert. Später in der höheren Schule wurde mir die Privatmeinung vom Opa nochmals bestätigt. Dennoch ist für mich bis heute an der ganzen Sache etwas faul und dadurch, dass ich Golfer geworden bin, hat sich das ganze Problem nochmals verstärkt.

Es ist nämlich folgendes: Die Erde absolviert eine Drehung um sich selbst an einem Tag, also in 24 Stunden. Stellen wir uns die Erdachse vor, so tritt sie am Nord- und am Südpol aus. Würde man an diesen beiden Endpunkten stehen, dann würde man sich nur um sich selbst drehen – wie ein Kreisel. Ganz anders am Äquator, der gedachten Linie, die von den beiden Polen am weitesten entfernt ist und die Erde in zwei Halbkugeln teilt. Wer hier steht, legt pro Tag über 40.000 Kilometer zurück. Das sind immerhin 1.670 Kilometer pro Stunde. Wir in Österreich sind so ziemlich in der Mitte der Nordhalbkugel – daher bewegen wir uns mit ungefähr 800 km/h. Wegen der Erdanziehung merken wir aber davon nix! Halt mal bei 100 km/h den Arm aus dem Auto und beobachte wie es dir die Haut auf den Fingern verzieht. So gesehen müsste es uns bei den permanenten 800 km/h die Haut dann überhaupt runterreißen. Komischer weise merken wir von der Drehung auch dann nix, wenn wir ein bissi in die Luft springen. Bei der Geschwindigkeit wie die Erde sich dreht, müsste sie einem ja beim Sprung unten vorbeiziehen und je nachdem wie hoch man hüpft, umso weiter weg vom Ausgangshupfpunkt landet man dann wieder.

Aber es kommt noch schlimmer, denn wie der Galileo Galilei schon der katholischen Kirche unter die Nase gerieben hat, dreht sich die Erde ja nicht nur um sich selbst, sondern auch noch um die Sonne. Und haltet euch im wahrsten Sinne des Wortes gut fest, sie tut das mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 107.000 km/h. Und dem nicht genug, dreht sich unser gesamtes Sonnensystem mit etwa 280 Kilometern pro Sekunde, also rund einer Million km/h um die Mitte unserer Galaxis, der Milchstraße. Und wer weiß schon worum sich die wieder dreht – geschweige denn wie schnell.

Was wir hier auf Erden also erleben ist eine permanente Hyper-Hoch-Geschwindigkeitsreise durch das Raum-Zeit-Kontinuum! Wir müssen daher durchaus froh sein, dass diese Erdanziehung so gut funktioniert, dass es uns bei diesen Geschwindigkeiten nicht einfach runterreißt von der Erde!

Dennoch widerspreche ich dem hochverehrten Isaac Newton! Denn ich bin davon überzeugt, dass dieses permanente Gedrehe nicht ganz ohne Einfluss auf uns Menschen bleiben kann. Im Gegensatz zum Newtonschen Apfel der gerade vom Baum auf die Erde runtergefallen ist, fliegen meine Golfbälle nämlich links und rechts in den Wald oder ins Wasser. Sind sind zu kurz oder auch zu lang und landen generell an Stellen wo ich gar nicht hingezielt habe. Früher dachte ich es liegt an meinem schlechten Spiel – heute weiß ich: es liegt an der Erdrotation!

SCHÖNES SPIEL 🙂

Die Warteschlangenformel

30 Dienstag Aug 2016

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Heute wirds zu Beginn dieses BLOG-Artikels wieder einmal etwas mathematisch – genauer gesagt geht es um die Warteschlangentheorie. Diese bedient sich zur Beschreibung von Bedienungssystemen eines einfachen Grundmodells. Es besteht aus dem sogenannten „Bedienungsschalter“, der über ein oder mehrere parallel arbeitende gleichartige Maschinen bzw. Arbeitsplätze verfügt, und aus einem „Warteraum“. Die Kunden treffen einzeln und zu zufälligen Zeitpunkten vor dem Bedienungsgerät (z.B. die Kassen in einem Supermarkt) ein. Ein neu ankommender Kunde wird bedient, sofern mindestens eines der Bedienungsgeräte frei ist, andernfalls muss er sich in die Warteschlange einreihen. Professor Dueck erörtert in seinem Buch „Schwarmdumm“ dieses Phänomen und rät auch gleich, wie man es lösen kann. Vereinfacht gesagt, sollte man die Auslastung z.B. einer Kasse nicht über einen bestimmten Wert (ca. 85%) steigern. Danach wird jegliches System überlastet.

Vermutlich geht es uns allen gleich, denn wir erwischen an der Kasse mit grosser Sicherheit immer die langsamste Schlange und dann ärgern wir uns über die Kasse und die verlorene Zeit.

Ich bin überzeugt davon, dass mit der Warteschlangenformel viele Dinge erklärt werden können und ich versuche jetzt einen Querschlag zum Golf! Betriebswirtschaftlich gesehen, wäre es uns am liebsten, wenn unser Golfplatz zu 100% ausgelastet wäre. Sprich jeden Tag von 9:00 Uhr bis 17:00 Uhr alle Startzeiten reserviert. Das sind 8 Stunden und bei einem Startintervall von 10 Minuten und immer 4 Spieler pro Flight 192 Spieler pro Tag. Macht bei einer Saison von 15.April bis 15.Oktober also 180 Tage insgesamt 34.560 Spieler. Für viele Golfplatzbetreiber wäre das der Wunschtraum – aber laut Warteschlangenformel völliger Quatsch, weil sich die Golfer gegenseitig auf die Füße steigen würden, weil es wie auf der Strasse einen Überlastungsstau geben würde und weil sich dann die Leute ärgern und gestresst sind. Und von der Möglichkeit auch bei Schönwetter kurzfristig eine Startzeit zu bekommen red ich erst gar nicht.

So gesehen mag es betriebswirtschaftlich sinnvoll sein den Golfplatz perfekt auszunutzen – taktisch ist es Käse, denn viel lieber haben es die Golfer, wenn vom nachfolgenden Flight kein Druck erzeugt wird. Wenn man bei der Halfway genug Zeit hat, ein Bierchen zu trinken, ohne, dass die nachfolgende Spielgruppe schon anrückt usw.

Es gab Zeiten, da hatten wir in Österreich mehr Golfer als die damals vorhandenen Golfplätze aufnehmen konnten. Jetzt ist das Verhältnis gekippt und zu viele Golfplätze ringen um die Gunst der stagnierenden Zahl der Golfer. Sogar ehemals elitäre Golfplätze, die sich und deren Mitglieder von der Außenwelt eingesperrt habe, sind inzwischen gezwungen sich zu öffnen. Es gilt jetzt mit Qualität oder einem möglichst niedrigen Preis zu punkten. Es gilt ein gutes Image zu haben, ein kreatives Vermarktungskonzept und Ideen wie man Menschen von dieser wunderschönen Sportart begeistert. Dieser golfBLOG soll ein kleiner Beitrag sein Golf zu öffnen und zu zeigen welch ein stressfreies Hobby Golf ist. Keine Warteschlangen, kein Druck, kein steifes verkrustetes System, sondern ein

SCHÖNES SPIEL 🙂

Golf ist wie Schach, nur ohne Würfel!

10 Dienstag Mai 2016

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Zugegeben: Golf ist natürlich ganz und gar nicht wie Schach, sondern Golf ist eine in sich vollständig hermetisch geschlossene Welt in der eine Gruppe von eigentümlich gekleideten, stundenlang mit schwerem Gepäck beladenen Menschen einem kleinen weissen (gelben, orangen, rosa aber nicht ! grünen) Ball hinterhergehen, den sie vorher wissentlich (!!!) von sich weggeschlagen haben.

Schach ist da ganz anders! Schach wird im Gegensatz zu Golf im Sitzen gespielt. Das Spielfeld ist klein und kariert – übrigens nicht zu verwechseln mit kleinkariert. Es gibt Könige, Bauern, Läufer, Türme, Pferde und 2 Damen die die größte Macht am Spielfeld haben und mächtig Unruhe erzeugen. Links und rechts vom Spielbrett sitzen sich dann 2 Menschen gegenüber, die wenig miteinander sprechen, sich nicht ansehen und warten, dass der andere einen entscheidenden Fehler macht. Jenen Fehler mit dem man den gegnerischen König kaltstellen kann. Anstelle von Läufer und Türmen hat man beim Golf Eisen und Holz-Schläger. Anstelle der Uhr am Schachbrettrand hat man ein Entfernungsmessgerät und Du musst Golf im Freien spielen – so auch bei Regen!

Schach kommt aus Indien und verbreitete sich durch die schwadronierenden persischen Militärs auf den Rest der Erde oder zumindest den Nahen Osten – den man früher vermutlich nicht so nannte. Die schönste Legende über die Entstehung des Schach ist die Geschichte mit den Weizenkörnern. Diese besagt, dass er indische Herrscher Shihram ein Tyrann war. Und wie es sich für einen guten Tyrannen gehört, muss dieser per se sein Volk tyrannisieren. Sein Volk dankte es ihm damit, dass es das Land in Not und Elend stürzt – was aus Sichtweise des Tyrannen ziemlich vertrottelt ist! Um die Aufmerksamkeit des Königs auf dessen Fehler zu lenken, ohne seinen Zorn zu entfachen, erfand der weise Brahmane Sissa, ein Spiel, in dem der König als wichtigste Figur ohne Hilfe anderer Figuren und Bauern nichts ausrichten kann. Der Unterricht im Schachspiel machte auf Shihram einen starken Eindruck. Er wurde milder und ließ das Schachspiel verbreiten, damit möglichst alle seine Untertanen es spielen können. Inzwischen milde und weise fragte König Shihram den Schacherfinder und Mathematiker Sissa, was er sich als Honorar für dessen Erfindung wünschte. Dieser wünschte sich Weizenkörner: Auf das erste Feld eines Schachbretts wollte er ein Korn, auf das zweite Feld das Doppelte, also zwei, auf das dritte wiederum die doppelte Menge, also vier und so weiter. Der König schüttelte über die vermeintliche Bescheidenheit des Brahmanen den Kopf. Leider hatte der König die Rechnung ohne die Wirtin gemacht, denn als er sich einige Tage später erkundigte, ob Sissa seine Belohnung in Empfang genommen habe, musste er hören, dass die Rechenmeister die Menge der Weizenkörner noch nicht berechnet hätten. Der Vorsteher der Kornkammer meldete nach mehreren Tagen ununterbrochener Arbeit, dass er diese Menge Getreidekörner im ganzen Reich nicht aufbringen könne. Auf allen Feldern eines Schachbretts zusammen wären es 264−1 oder 18.446.744.073.709.551.615 (≈ 18,45 Trillionen) Weizenkörner. Hat der Brahmane – der Lumpazi – den König quasi geschossen! Aber König Sissa kam aus der Nummer raus, indem er Sissa ganz einfach den Auftrag gab das Getreide nachzuzählen.

Warum Schach Schach heißt ist relativ leicht erklärt: König heißt auf persisch Schah und Schach ist das „Spiel der Könige“. Aber warum (in Königs Namen) heißt Golf eigentlich Golf?

Der Sporthistoriker (cooler Beruf!!!) Heiner Gillmeister geht davon aus, dass das erstmals 1457 bezeugte schottische golf eine Entlehnung des niederländischen kolv („Schläger“) ist. Sein Kollege Robin K. Bargmann (ebenfalls Sporthistoriker) hingegen vertritt die Meinung, dass sich das niederländische Colf und das schottische Golf gleichzeitig entwickelten und beide Begriffe auf das lateinische Wort clava („Knüppel“) zurückzuführen sind. Aber Wurscht wie – im Gegensatz zum intellektuellen „Schachspiel der Könige“ geht’s beim Golf mehr um eine brachiale Schlägerei mit Knüppeln. Auch gehe ich davon aus, dass die schottischen Urkolver noch gar keine Bälle zum Knüppeln verwendeten, sondern sich einfach 4 Stunden auf einer abgegrenzten Wiese geprügelt und danach im Clubrestaraunt ein Bier und 18 Whiskey getrunken haben.

Das ganze Brimborium mit den Löchern, den Fahnen, den Fairways, den Grüns, den seitlichen und frontalen Wasserhindernissen haben sich 100%ig die Engländer einfallen lassen, die jede barbarische Schlägerei zu einem intellektuellen Spiel hochsterilisieren. Und spätestens dann wird die Sache kompliziert – viel komplizierter als Schach! Und da ich aktuell ein ziemlich miserabler Kolver bin, sollte ich mich eher auf Schach konzentrieren. Und so frage ich meine Leserschaft ganz offiziell: wer mag sich eine Runde Schach mit mir auswürfeln?

SCHÖNES SPIEL 🙂

Golf Powwow

19 Dienstag Mai 2015

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Seid ihr schon einmal in ein Gespräch von 2 Medizinern geraten – ohne selbst einer zu sein? Oder – alternativ – seid ihr schonmal in das Gespräch von 2 Computertechnikern geraten – ohne selbst auch nur den blassesten Schimmer von besprochener Thematik zu haben?
Man sitzt dann irgendwie ziemlich ungelenk daneben und denkt sich: wann genau ist dieser Zug (der da grad durch mein Gehirn fährt) in diesem spanischen Dorf angekommen? Man versteht nullinger!

Jede Branche hat so ihren eigenen Jargon, eigene Abkürzungen, eine ganz eigene Syntax und manchmal glaubt man, dass es sich um eine Geheimsprache handeln muss, damit die anderen – niedriges Volk quasi – nur ja nicht verstehen, dass man eigentlich nur gesagt hat: in China ist ein Reissack vom Fahrrad gefallen.

Auch im Golf gibt es dieses Phänomen! Denn alleine schon wie Golfer ihr eigenes Spiel berechnen, erinnert schwer an höhere Mathematik – Leonardo Fibonacci nix dagegen!

Daneben gibt es immer wieder Wörter und Floskeln die einfach kein Außenstehender verstehen kann. Oder wie würde man es als Nicht-Golfer deuten, wenn „ein Bunker sich verdichtet hat“ oder „der Ball nicht gebrochen ist“. Ganz schlimm wird das Verständnis dann, wenn auch noch die englischen Vokabeln dazugekommen und „der Mulligan im Out ist“ oder „ein Divot aus dem Semi-Rough geschlagen wird“. Man ist wieder mit dem Zug in oben erwähntes spanische Dorf gefahren.

Noch viel schlimmer als die mathematische Berechnung und diese Spezialfloskeln ist aber das Gespräch über das Golfspiel an sich! Denn Golfer schaffen es jedes Loch im Detail einem anderen Golfer zu erklären und nur ein Golfer kann der Euphorie die dem Erzähler hier entströmt folgen.
Meine Mum zum Beispiel; meine Mum ist eine leidenschaftliche Golferin, eine sehr fröhliche Frau und redet gern und viel. Manche Zungen behaupten, spätestens hier merkt man die nahe Verwandtschaft zwischen ihr und mir (alles Gute nochmal zum Muttertag nachträglich!). Jedenfalls geht meine Mum zum Golfen und am nächsten Morgen sitzt sie neben mir beim Frühstück und dann werden von den gestrigen 18 Löchern die sie gespielt hat, mir mindestens 9 im Detail erklärt. Wie der Abschlag war, wann sie meinen Vater beim Einlochen aus 3 Metern abgezockt hat und wo das Gras noch recht feucht war und ihre neuen Schuhe dreckig wurden. Dabei handelt es sich aber nicht um irgendein super wichtiges Turnier mit tollen Preisen, nix, es handelte sich um eine private Hobbyrunde mit meinem Papa!

Aber nicht dass ihr denkt meine Mutter ist hier eine Aussnahme – keineswegs, das machen fast alle Golfer so! Jeder erzählt dem anderen was nicht alles so passiert ist auf der Runde. Klar wird dabei auch immer wieder etwas übertrieben – aber auch wenn nicht, Golf an sich ist für sich allein schon so spannend, dass es erzählenswert ist! Das zumindest glaubt der gemeine Golfer! Und andere noch gemeinere Golfer können das verstehen. Nicht so die gemeinen Nicht-Golfer! Denen ist das ganze Golfgeschwätz grotten-fad und törnt eher ab denn an.

Aber wehe der Nicht-Golfer wird plötzlich zum Golfer und erliegt diesem unerforschten Virus! Dann (ja dann) kann man sich als Alt-Golfer vor lauter sensationeller Jung-Golfer-Geschichten fast nicht mehr erwehren. Jung-Golfer sind dann durchaus vergleichbar mit jenen Menschen die 2015 als Spätberufene Facebook beitreten. Dort dann stündlich die noch so unwichtigsten Statusmeldungen posten, jedes Essen photographieren, dich zu allen sinnlosen Spielen einladen und sogar die gute alte Anstups-Funktion finden. Der altehrwürdige Rest der Facebook-Gemeinde schüttelt dann den virtuellen Kopf und zuckt mit den digitalen Achseln.

Ich denke wir können uns drauf einigen, dass jeder von uns so seinen persönlichen „Klescher“ hat und scheinbar alle anderen darüber informieren möchte, dass es ein grobes Wagnis ist, diesem einen wahren Hobby, dieser so besonderen Freizeitbeschäftigung oder dieser Denkweise nicht zu folgen und nachzuahmen. Ob es wirklich sinnvoll ist, jeden damit zu belästigen, wage ich zu bezweifeln.

Ich gebe zu: Golf ist mein privater „Klescher“ und dieser BLOG ist meine Möglichkeit anderen über mein liebstes Hobby zu erzählen – Golf Powwow quasi! Und der Vorteil: wer nicht mag, muss nicht lesen!

SCHÖNES SPIEL 🙂

P.S.: Bin ich jetzt eigentlich Alt- oder Jung-Golfer? Ich befürchte nach 7 Jahren ersteres!